Sterke magneetvelden opwekken met supergeleidende spoelen
Supergeleidende spoelen worden gebruikt om sterke magneetvelden op te wekken in verschillende toepassingen, zoals kernfusiereactoren, deeltjesversnellers, actuatoren en MRI scanners. Door supergeleiding met FEM te simuleren kunnen (o.a.) de stroomverdeling, de kritische stroom, de magneetveldsterkte en de AC losses (verliezen door wisselstroom) worden voorspeld. In deze showcase bestuderen we een enkele supergeleidende spoel en de invloed van diens magneetveld op de stroomverdeling en kritische stroom van de aanvoerkabel. Onze methode zorgt voor een gelijktijdige berekening van het magneetveld, de stroom en de spanning binnenin de supergeleider.
Effect van de hoek tussen de aanvoerkabel en de spoel
Om de kritische stroom in de supergeleidende aanvoerkabel te simuleren is het niet nodig om de stroom in de spoel mee te nemen. Het is afdoende om het effect dat het magneetveld van de spoel heeft op de supergeleidende draad te simuleren. De geometrie is te zien in de figuur hieronder. We laten drie geometrieën zien, ieder met een andere hoek tussen het vlak waarin de spoel zich bevindt, en de aanvoerdraad. Deze hoek is belangrijk, vanwege de wiskundige (empirische) relatie tussen de kritische stroom in de supergeleidende draad (d.w.z. de laagste stroom waarbij de supergeleider een significante spanningsval heeft) en het externe magneetveld. De onderdrukking van de kritische stroom kan je zien als het gevolg van een Lorentzkracht van de geladen supergeleidende deeltjes (Cooper pairs) op de flux vortices van de supergeleider, zodat de onderdrukking maximaal is wanneer het magneetveld en de stroomrichting loodrecht op elkaar staan. Dit punt wordt bereikt in de buurt van de bovenkant van de spoel. Relevant voor de toepassing is hoe de stroom in de gehele supergeleidende aanvoerdraad verdeeld is en hoe de onderdrukking van de kritische stroom in de aanvoerdraad dicht bij de spoel afhangt van de hoek van inval van de aanvoerdraad. Het is bijvoorbeeld mogelijk dat de kritische stroom in de aanvoerdraad lager is dan in de spoel zelf.
modellering van supergeleidersaangepaste
aangepaste
AV-formulatie.
Supergeleiders zijn uitdagend om te modelleren vanwege de sterke niet-lineaire relatie (E(J)) tussen het elektrische veld (E) en de stroom (J). In tegenstelling tot gewone geleiders, waarbij de stroom en het elektrisch veld lineair aan elkaar gerelateerd zijn (dit is de wet van Ohm), hebben supergeleiders de ingewikkelde formule E(J) = EC (J/JC )n waarbij n ≈ 20. Hierdoor moeten de conventionele methodes van elektrodynamische modellering aangepast worden om de simulatie te laten convergeren. De methodes zijn genoemd naar de afhankelijke variabelen in de Maxwell-vergelijkingen waarvoor opgelost wordt. Normaliter wordt in elektrodynamische simulaties opgelost voor de elektrostatische (V) en magnetische vector (A) potentialen. Deze methode heet dan ook AV-formulering. Het is mogelijk om supergeleiders te modelleren in AV-formulering, maar dit vereist een onnatuurlijke aanpassing aan de E(J) relatie. De meest gebruikelijke methode voor het modelleren van supergeleiders is de H-formulering, waarbij de correcte E(J) relatie wel gebruikt kan worden. Hier is het magneetveld (H) de afhankelijke variabele en de stroom wordt gegeven door zijn (wiskundige) rotatie, zoals gegeven door de wet van Ampère. Het nadeel van de gebruikelijke formuleringen is dat de spanning niet direct beschikbaar is in de simulaties. Als de spanning al beschikbaar is, is het in samengestelde vorm. Wij hebben een aangepaste AV-formulering ontwikkeld om twee vliegen in een klap te slaan: we berekenen ruimtelijk opgeloste spanningen met de correcte E(J) relatie.
de kritische stroom in de aanvoerdraad.
De AV-formulering geeft ons direct toegang tot de spanningsval over de supergeleidende aanvoerdraad. De stroom in de spoel wordt gemodelleerd als de totale stroom die door de aanvoer naar binnen komt, vermenigvuldigd met het aantal wikkelingen van de spoel. Hierdoor fungeert de spoel als een externe ladingsdichtheid die een magneetveld genereert; de supergeleidende eigenschappen zijn irrelevant en worden niet gesimuleerd. De aanvoerdraad en de spoel zijn verbonden met een gesoldeerde verbinding die wel wordt meegenomen in de simulatie. Dit is een metallische (niet-supergeleidende) overgang die een Ohmse bijdrage toevoegt aan de totale spanningsval over de aanvoerdraad. Dankzij de aangepaste AV-formulering hebben we toegang tot de ruimtelijk opgeloste spanning en kunnen we de spanningsval over enkel de supergeleidende aanvoerdraad gemakkelijk berekenen. Hieruit volgen eenduidige en betrouwbare resultaten voor de spanningsval over de aanvoerdraad als functie van de aangelegde stroom. Vervolgens kunnen we direct de effectieve kritische stroom (gedefinieerd als de stroom waarbij de kritische elektrische veldsterkte van 1·10-4 V/m behaald wordt) van de gehele aanvoerdraad bepalen.
resultaten
stroomverdeling en kritische stroom in de aanvoerdraad.
De figuur hierboven toont de stroomverdeling in de aanvoerdraad dicht bij de spoel. Het patroon van de zwarte stroomlijnen is vergelijkbaar voor de drie verschillende invalshoeken, maar uitgesmeerd over een oppervlak met andere aspect- verhouding. De stroom doorkruist de locatie waar de draad voor het eerst de spoel raakt zo loodrecht mogelijk. Hierdoor wijkt de stroomrichting af en is deze niet meer parallel aan de randen van de aanvoerdraad. De locatie waar de draad de spoel voor het eerst raakt is in de figuren hierboven en hiernaast te zien als de horizontale zwarte lijn. In de figuur hiernaast is duidelijk zichtbaar dat de kritische stroom hier minimaal is.
Een ander interessant resultaat, hiernaast te zien, is het maximum van de kritische stroom, dat precies in het midden van de spoel behaald wordt. Langs deze lijn vereist de symmetrie van de spoel dat het magneetveld exact parallel is aan de aanvoerdraad en tegelijk een grote veldsterkte heeft. Dit zorgt voor een sterke lokale variatie in de kritische stroom.
De figuur hieronder toont de relatie tussen het elektrische veld en de stroom van de supergeleidende aanvoerdraad voor de drie verschillende invalshoeken. We zien dat niet alleen de stroomverdeling afhankelijk is van de invalshoek, maar ook de effectieve kritische stroom van de aanvoerdraad is verschillend voor alle drie de gevallen. De hoogste kritische stroomwaarde wordt behaald wanneer de hoek tussen de aanvoerdraad en de spoel 30° is. Hier is het oppervlak waarbij de kritische stroom zijn minimum heeft het grootst (zie de parallellogrammen in de figuur hiernaast).
conclusie.
We hebben een simulatie gedaan van een supergeleidende spoel die aangevoerd wordt door een supergeleidende aanvoerdraad. Het effect van het veranderen van de invalshoek van de aanvoerdraad op de stroomverdeling, de kritische stroom in de aanvoerdraad en de effectieve kritische stroom van de totale draad is in kaart gebracht. Dankzij de aangepaste AV-formulering die we ontwikkeld hebben, was het eenvoudig om het elektrische veld en de kritische stroom te berekenen, terwijl de E(J) relatie van de supergeleider intact kon blijven.
De kennis van de kritische stroom in supergeleidende spoelen is essentieel voor het ontwerp, waardoor deze aanpak direct toepasbaar is in engineering. Met name het uitrekenen van de beperkende factor voor de stroom (m.a.w. waar is de kritische stroom het laagst?) is vaak een relevante vraag. Met behulp van dit soort simulaties, kunnen experimentele kosten lager blijven en is het mogelijk in hoog tempo fundamentele inzichten te genereren.
"het maken, ontwikkelen en verbeteren van technologie is wat ons engineers maakt"
Computationele supergeleiding biedt een zeer bevredigende combinatie van exotische fysica, high-tech toepassingen en technisch uitdagende berekeningen. Het verbeteren van de simulatie methode om een meer nauwkeurige beschrijving van de fysica mogelijk te maken, is erg bevredigend. Het uiteindelijke doel van ons werk is om technologie te bouwen, ontwikkelen en verbeteren – dit is wat ons engineers maakt!
